ALGEBRA, MATRICES, VECTORES: 2012

jueves, 26 de julio de 2012

Transformaciones lineales

žDefinicion:Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformaci´on lineal o mapeo lineal de V a W es una funci´on T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:
T(u
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(c
T(c u) = c T(u)
žAlgebra de las Tranformaciones LinealesUn álgebra A sobre un campo F es un espacio vectorial sobre Fen el que se tiene definida una operación producto que satisface para todos los elementos.

žRadio y nucleo de una transformacion lineal
El núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio.

Espacios Vectoriales

žDefinicionEn matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna y una operación externa, con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
žCombinacion LinealUna combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

žDependencia e independencia linealEn álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

SIstema de ecuaciones lineales

Definicion de Ecuacion Lineal
La forma general de una ecuación lineal es y = mx + b, que es una línea recta en una gráfica de coordenadas Cartesianas. El parámetro m es la pendiente de la línea y b es el punto de intersección en y.žžSistema de Ecuaciones Lineales( Consistencias, inconsistencias y Homogeneidad).Los sistemas de ecuaciones se clasifican de acuerdo al número de sus soluciones: 1.Inconsitente: Cuando el sistema No tiene solución.
2.Consistente: Cuando2.Consistente: Cuando2.Consistente: Cuando el sistema Tiene solución.
a. Consistente determinado: Únicaa. Consistente determinado: Únicaa. Consistente determinado: Única solución
b. Consistente indeterminado: Infinitas b. Consistente indeterminado: Infinitas solucione

Matrices y Determinantes

žDeficion: Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
žTipos especiales de matrices:Matriz fila, Matriz columna, Matriz rectangular, Matriz cuadrada, Matriz nula, Matriz triangular superior, Matriz triangular inferior, Matriz diagonal, Matriz escalar, Matriz identidad o unidad, Matriz traspuesta, Matriz regular, Matriz singular, Matriz idempotente, Matriz involutiva, Matriz simétrica, Matriz antisimétrica o hemisimétrica, Matriz ortogonal.

žSuma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij).

žMultiplicacion de matrices
La multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre dos matrices, o bien la multiplicación entre una matriz y un escalar según unas reglas.

Funcion determinanteSe define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos.
žMatriz InversaLa matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es la matriz cuadrada A-1 tambien de orden n que verifica:A • A-1 = A-1 • A = I
Cálculo por el método de Gauss.

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos: 1º Construir una matriz del tipo M = (A | I) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
2º Utilizando el método Gauss se transforma la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1

martes, 26 de junio de 2012

Recta y Plano R

Intersección entre recta y plano
Para obtener la intersección entre una recta $L_1: \; (x,y,z)= P + t\, \overrightarrow{v}\;$ y el plano $\Pi_1: \; a_1x+b_1y+c_1z =d_1$ , despejamos $x,\, y$ y

en la ecuación de la recta y sustituimos $x,\, y$ y

en la ecuación del plano. Resolvemos para

, si la solución es única, con este valor de

obtenemos el punto de intersección sustituyendo en la ecuación de la recta.

Observe que la ecuación en

puede también tener infinitas soluciones (si la recta está en el plano) o no tener solución (si no hay intersección).

Producto mixto y propiedades

El producto mixto de los vectores

es igual al
producto escalar del primer vector por el producto vectorial de
los otros dos.

El producto mixto se representa por [

El producto mixto de tres vectores es igual al
determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos
vectores respecto a una base ortonormal.

Ejemplos

Calcular el producto mixto de los vectores:

Producto vectorial y propiedades

En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).

Producto escalar y propiedades

En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto, es una operación definida sobre dos vectores de unespacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

Longitud y direccion de un vector coordenado

El teorema de Pitágoras se puede usar para calcular la longitud de un vector fijo en R³.

Si

del teorema de Pitágoras se tiene que

aplicando el teorema de Pitágoras al vector OR tenemos que

y remplazando esta última ecuación en la primera se tiene que

como la norma de un vector es no negativa tenemos que

Sustraccion de vectores

Adición y sustracción de vectores, grafica y analíticamente; ejemplos.

La adición (y la sustracción) de dos matrices A + B (o A - B) requiere que las matrices sean de dimensiones iguales. A continuación cada elemento de una matriz se suma (o resta) del elemento correspondiente de la otra matriz. Así, a11 de A se sumara (o restara) a b11 de B; a12, a b12, etc.

Ejemplo.

A continuación se calcula la suma A + B, dadas las matrices A y B:

(3*3)

(3*3)=

Multiplicacion de un escalar por un vector

Producto de un escalar por un vector

El producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido.

La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.

Adicion de vectores

Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Método del triángulo o método poligonal
Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro; es decir, el origen de cada uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro. El vector resultante es aquel que nace en el origen del primer vector y termina en el extremo del último.

Este método permite solamente sumar vectores de a pares. Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

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Igualdad de Vectores

Igualdad de vectores. Suma de vectores.

Siendo a el ángulo que forma el ángulo que forman los vectores y

Dos vectores son iguales si lo son sus módulos sus direcciones y sus sentidos.


	En física hay muchas circustancias en las que hay que sumar magnitudes vectoriales. Por ejemplocuando dos fuerzas y actúan sobre un cuerpo en el mismo punto O.

El sistema de dos fuerzas y es equivalente a una única fuerza actuando sobre el mismo punto. Para conocer el módulo dirección y sentido de dicha fuerza tenemos que construir un paralelogramo a partir de los vectores que se suman.

= y

Más adelante veremos que el módulo del vector suma se puede obtener analíticamente mediante la expresión

Un caso particular interesante es cuando los dos vectores son paralelos. En ese caso la expresión anterior se convierte en el conocido Teorema de Pitágoras.

Concepto de vector

En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por su módulo (olongitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que distingue el origen del extremo). En matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para mucho espacios vectoriales no es posible representar a sus vectores mediante un módulo o longitud y una orientación (ver Espacio vectorial).

Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano $\R^2$ o en el espacio $\R^3$ .

Son ejemplos de magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección hacia la que se dirige. La fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que opera. El desplazamiento de un objeto.

martes, 20 de marzo de 2012

Cinetica

La cinemática es la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento (cambios de posición) de los cuerpos, sin tomar en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudia de la trayectoria en función del tiempo. La aceleración es el ritmo con que cambia su rapidez (módulo de la velocidad). La rapidez y la aceleración son las dos principales cantidades que describen cómo cambia su posición en función del tiempo.

http://www.youtube.com/watch?v=XAR8MEjnkHA
http://www.youtube.com/watch?v=CdaepQXgZgc
http://www.youtube.com/watch?v=xXUMDLhQTcY
http://www.youtube.com/watch?v=GaZhn6gLBp8

Sistema Internacional

El Sistema Internacional de Unidades (abreviado SI, del francés: Le Système International d'Unités), también denominado Sistema Internacional de Medidas, es el nombre que recibe el sistema de unidades que se usa en casi todos los países.
Es el heredero del antiguo Sistema Métrico Decimal y es por ello por lo que también se lo conoce como «sistema métrico», especialmente en las personas de más edad y en pocas naciones donde aún no se ha implantado para uso cotidiano.
Se instauró en 1960, a partir de la Conferencia General de Pesos y Medidas, durante la cual inicialmente se reconocieron seis unidades físicas básicas. En 1971 se añadió la séptima unidad básica: el mol.
Una de las características trascendentales, que constituye la gran ventaja del Sistema Internacional, es que sus unidades se basan en fenómenos físicos fundamentales. Excepción única es la unidad de la magnitud masa, el kilogramo, definida como «la masa del prototipo internacional del kilogramo», un cilindro de platino e iridio almacenado en una caja fuerte de la Oficina Internacional de Pesos y Medidas.
Las unidades del SI constituyen referencia internacional de las indicaciones de los instrumentos de medición, a las cuales están referidas mediante una concatenación interrumpida de calibraciones o comparaciones.
http://www.youtube.com/watch?v=ZMvv7praT8I
http://www.youtube.com/watch?v=vNuyv9N7rsw
http://www.youtube.com/watch?v=U4h8IP7feT8
http://www.youtube.com/watch?v=MMNP-d9XeR8

Movimiento Rectilineo Uniforme Acelerado

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), también conocido como movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), es aquel en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante.
Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caída libre vertical, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad.
También puede definirse el movimiento como el que realiza una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante.
El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) es un caso particular del movimiento uniformemente acelerado (MUA).

http://www.youtube.com/watch?v=bs5yjRQV3NM
http://www.youtube.com/watch?v=s--J9VxgdL8
http://www.youtube.com/watch?v=J8JnASUFv2E
http://www.youtube.com/watch?v=IsX8o-weJj8

Movimiento Rectilineo Uniforme

Un movimiento es rectilíneo cuando el cuerpo describe una trayectoria recta, y es uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, dado que su aceleración es nula. Nos referimos a él mediante el acrónimo MRU.

El MRU (movimiento rectilíneo uniforme) se caracteriza por:

Movimiento que se realiza sobre una línea recta.
Velocidad constante; implica magnitud y dirección constantes.
La magnitud de la velocidad recibe el nombre de celeridad o rapidez.
Aceleración nula.

http://www.youtube.com/watch?v=ywQRN29OL38
http://www.youtube.com/watch?v=3WWozOSZlj4
http://www.youtube.com/watch?v=dTjV_skYekE
http://www.youtube.com/watch?v=bs5yjRQV3NM&feature=fvst

Trabajo y Energia

En mecánica clásica, el trabajo que realiza una fuerza sobre un cuerpo equivale a la energía necesaria para desplazar este cuerpo. El trabajo es una magnitud física escalar que se representa con la letra $\ W$ (del inglés Work) y se expresa en unidades de energía, esto es en julios o joules (J) en el Sistema Internacional de Unidades.
Ya que por definición el trabajo es un tránsito de energía, nunca se refiere a él como incremento de trabajo, ni se simboliza como ΔW.
Matemáticamente se expresa como:

$W = \mathbf F \cdot \mathbf d = F d \cos\alpha$

Donde $F$ es el módulo de la fuerza, $d$ es el desplazamiento y $\alpha$ es el ángulo que forman entre sí el vector fuerza y el vector desplazamiento (véase dibujo).
Cuando el vector fuerza es perpendicular al vector desplazamiento del cuerpo sobre el que se aplica, dicha fuerza no realiza trabajo alguno. Asimismo, si no hay desplazamiento, el trabajo también será nulo.
http://www.youtube.com/watch?v=0NyR-K4KibY
http://www.youtube.com/watch?v=4jcy9QkWaJw
http://www.youtube.com/watch?v=P8JnJGQdT7w
http://www.youtube.com/watch?v=OMmz8oHaOQ4

Diagrama de Cuerpo Libre

Un diagrama de cuerpo libre es una representación gráfica utilizada a menudo por físicos e ingenieros para analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre es un elemental caso particular de un diagrama de fuerzas. En español, se utiliza muy a menudo la expresión diagrama de fuerzas como equivalente a diagrama de cuerpo libre, aunque lo correcto sería hablar de diagrama de fuerzas sobre un cuerpo libre o diagrama de fuerzas de sistema aislado. Estos diagramas son una herramienta para descubrir las fuerzas desconocidas que aparecen en las ecuaciones del movimiento del cuerpo. El diagrama facilita la identificación de las fuerzas y momentos que deben tenerse en cuenta para la resolución del problema. También se emplean para el análisis de las fuerzas internas que actúan en estructuras.
http://www.youtube.com/watch?v=HChhO40JJeQ
http://www.youtube.com/watch?v=fM6Bhrhm-iw
http://www.youtube.com/watch?v=uE_0CXuZi8w
http://www.youtube.com/watch?v=dIrhuISg0KE

Sistema Numerico

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos.
Un sistema de numeración puede representarse como

$\mathcal{N} = (S, \mathcal{R})$

donde:

$\mathcal{N}$ es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.).
$S\,$ es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}.
$\mathcal{R}$ son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no. En un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la numeración romana requiere reglas algo más elaboradas.

Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.
Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema.

http://www.youtube.com/watch?v=hef2dXg852A
http://www.youtube.com/watch?v=6yJ0kVhNeBw
http://www.youtube.com/watch?v=2RH-3oMqprU
http://www.youtube.com/watch?v=kmW-P5n_lrU

ALGEBRA, MATRICES, VECTORES