Producto escalar y propiedades

En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto, es una operación definida sobre dos vectores de unespacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

Longitud y direccion de un vector coordenado

El teorema de Pitágoras se puede usar para calcular la longitud de un vector fijo en R³.

Si  del teorema de Pitágoras se tiene que

aplicando el teorema de Pitágoras al vector OR tenemos que  y remplazando esta última ecuación en la primera se tiene que

como la norma de un vector es no negativa tenemos que  

Sustraccion de vectores

Adición y sustracción de vectores, grafica y analíticamente; ejemplos.

La adición (y la sustracción) de dos matrices A + B (o A - B) requiere que las matrices sean de dimensiones iguales. A continuación cada elemento de una matriz se suma (o resta) del elemento correspondiente de la otra matriz. Así, a11 de A se sumara (o restara) a b11 de B; a12, a b12, etc.

Ejemplo.

A continuación se calcula la suma A + B, dadas las matrices A y B:

(3*3) 

(3*3)= 

Multiplicacion de un escalar por un vector

Producto de un escalar por un vector

El producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido.

 La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.

Adicion de vectores

Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Método del triángulo o método poligonal
Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro; es decir, el origen de cada uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro. El vector resultante es aquel que nace en el origen del primer vector y termina en el extremo del último.

Este método permite solamente sumar vectores de a pares. Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

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Igualdad de Vectores

Igualdad de vectores. Suma de vectores.

Siendo a el ángulo que forma el ángulo que forman los vectores  y 

Dos vectores son iguales si lo son sus módulos sus direcciones y sus sentidos.

	En física hay muchas circustancias en las que hay que sumar magnitudes vectoriales. Por ejemplocuando dos fuerzas  y actúan sobre un cuerpo en el mismo punto O.

El sistema de dos fuerzas  y es equivalente a una única fuerza  actuando sobre el mismo punto.  Para conocer el módulo dirección y sentido de dicha fuerza tenemos que construir un paralelogramo a partir de los vectores que se suman.

= y 

Más adelante veremos que el módulo del vector suma  se puede obtener analíticamente mediante la expresión

Un caso particular interesante es cuando los dos vectores son paralelos. En ese caso la expresión anterior se convierte en el conocido Teorema de Pitágoras.

Concepto de vector

En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por su módulo (olongitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que distingue el origen del extremo). En matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para mucho espacios vectoriales no es posible representar a sus vectores mediante un módulo o longitud y una orientación (ver Espacio vectorial).

Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano  o en el espacio .

Son ejemplos de magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección hacia la que se dirige. La fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que opera. El desplazamiento de un objeto.