Transformaciones lineales

žDefinicion:Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformaci´on lineal o mapeo lineal de V a W es una funci´on T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:
T(u
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(c
T(c u) = c T(u)
žAlgebra de las Tranformaciones LinealesUn álgebra A sobre un campo F es un espacio vectorial sobre Fen el que se tiene definida una operación producto que satisface para todos los elementos.

žRadio y nucleo de una transformacion lineal
El núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio.

Espacios Vectoriales

žDefinicionEn matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna y una operación externa, con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
žCombinacion LinealUna combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

žDependencia e independencia linealEn álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

SIstema de ecuaciones lineales

Definicion de Ecuacion Lineal
La forma general de una ecuación lineal es y = mx + b, que es una línea recta en una gráfica de coordenadas Cartesianas. El parámetro m es la pendiente de la línea y b es el punto de intersección en y.žžSistema de Ecuaciones Lineales( Consistencias, inconsistencias y Homogeneidad).Los sistemas de ecuaciones se clasifican de acuerdo al número de sus soluciones: 1.Inconsitente: Cuando el sistema No tiene solución.
2.Consistente: Cuando2.Consistente: Cuando2.Consistente: Cuando el sistema Tiene solución.
a. Consistente determinado: Únicaa. Consistente determinado: Únicaa. Consistente determinado: Única solución
b. Consistente indeterminado: Infinitas b. Consistente indeterminado: Infinitas solucione

Matrices y Determinantes

žDeficion: Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
žTipos especiales de matrices:Matriz fila, Matriz columna, Matriz rectangular, Matriz cuadrada, Matriz nula, Matriz triangular superior, Matriz triangular inferior, Matriz diagonal, Matriz escalar, Matriz identidad o unidad, Matriz traspuesta, Matriz regular, Matriz singular, Matriz idempotente, Matriz involutiva, Matriz simétrica, Matriz antisimétrica o hemisimétrica, Matriz ortogonal.

ž

žSuma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij).

žMultiplicacion de matrices
La multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre dos matrices, o bien la multiplicación entre una matriz y un escalar según unas reglas.

Funcion determinanteSe define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos.
žMatriz InversaLa matriz inversa de una matriz cuadrada  A de orden  n es la matriz cuadrada A-1   tambien de orden  n  que verifica:A • A-1 = A-1 • A = I
Cálculo por el método de Gauss.

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos: 1º Construir una matriz del tipo M = (A | I) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. 
2º Utilizando el método Gauss se transforma la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1

Recta y Plano R

Intersección entre recta y plano
Para obtener la intersección entre una recta  y el plano, despejamos   y  en la ecuación de la recta y sustituimos  y  en la ecuación del plano. Resolvemos para , si la solución es única, con este valor de  obtenemos el punto de intersección sustituyendo en la ecuación de la recta. 

Observe que la ecuación en  puede también tener infinitas soluciones (si la recta está en el plano) o no tener solución (si no hay intersección). 

Producto mixto y propiedades

El producto mixto de los vectores ,  y  es igual al
producto escalar del primer vector por el producto vectorial de
 los otros dos.

El producto mixto se representa por [, , ].

El producto mixto de tres vectores es igual al
determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos
vectores respecto a una base ortonormal.

Ejemplos

Calcular el producto mixto de los vectores:

Producto vectorial y propiedades

En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).